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和无穷小极限方法的基础上，发明尖锥术，不仅创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函数、反三角函数和对数函数的幂级数展开式，而且还具备了解析几何思想和一些重要定积分公式的雏型。这是非常了不起的成就。
首先，李善兰所创立的尖锥概念，是一种处理代数问题的几何模型。它由互相垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线所组成，并且在考虑尖锥合积的问题时，也是使诸尖锥有共同方向上的底和高，这样的底和高具有平面直角坐标系中纵、横两个坐标的作用。
其次，这种尖锥是由乘方数渐增渐迭而得，尖锥曲线是由随同乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。由于李善兰把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，实际上他给出了直线（长方、平尖锥）、抛物线（立尖锥）、立方抛物线（二乘尖锥）。。的方程。他的对数合尖锥还相当于给出了等轴双曲线的方程。
再次，李善兰的尖锥求积术，实质上就是幂函数的定积分公式和逐项积分的运算法则。同时，李善兰用这种积分的方法，配合还原（级数回求）、商除等代数运算方法，卓有成效地展开了许多超越函数的研究，这也是属于微积分学早期阶段的工作。
特别值得一提的是李善兰的对数论，它建立在尖锥术的基础上，独具特色，受到了中外学者的一致赞誉。伟烈亚力（A。Wylie，1815—1887）说：“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，达到了如同圣文森特的J。格雷戈里（Gregory，1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。”“倘若李善兰生于J。纳皮尔（Napier，1550—1617）、H。布里格斯（Briggs，1556—1631）之时，则只此一端即可名闻于世。”⑤顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法简捷、高明，认为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰“中土李（善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，大声疾呼“以告中土之受欺而不悟者”①。
在李善兰尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可以生根长叶、开花结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己特殊的方⑤ 李善兰：《重学》序，1866 年。
① A。Wylie，Chinese Researches，Shanghai，1897。
式走上近代数学的道路。只是几年以后，到了1852 年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的近代数学，并参与了把解析几何和微积分介绍进中国的翻译工作。从此，中国传统数学逐渐汇入世界数学的发展洪流之中。
清初有两位天算大师王锡阐（字寅旭，号晓庵，1628—1682）、梅文鼎（字定九，号勿庵，1633—1721），当时号称“二庵”。蒋学坚说：“李先生算学为中外所共仰，国初王晓庵、梅勿庵二先生后，当首屈一指。”②又有诗称李善兰“步算中西独绝伦”、“王梅而后此传人”，“二庵之后更推谁，小李将军算法奇”①。
② 顾观光：《■賸余稿》卷下，《武陵山人遗书》，1883 年。
① 蒋学坚：《李壬叔先生〈则古昔斋遗诗〉跋》，《怀亭文录》。
第四节朝译几何，暮译重学1852 年夏天，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给主持书馆的英国传教士W。H。麦都思（Medhurst，1796—1857）展阅，其时住于墨海书馆的伟烈亚力见之甚悦，出了几道数学难题请教李善兰，李善兰一一作了正确的解答。于是伟烈亚力便请他留在上海合作翻译西方数学书籍。
李善兰和伟烈亚力合作翻译的数学书有《几何原本》后9 卷、《代数学》13 卷和《代微积拾级》18 卷等。
据伟烈亚力说，古希腊欧几里得《几何原本》的英文版本“校勘未精，语讹字误，毫厘千里，所失匪轻”，而“（李善兰）君固精于算学，于几何之术，心领神悟，能言其故。于是相与翻译，余口之，君笔之。删芜正讹，反复详审，使其无有疵病，则李君之力居多。余得以借手告成而已”②。看来，这并非谦虚之词。因为翻译的过程是伟烈亚力口述，李善兰笔录。这种笔录，是对口述的再翻译，整理、加工、乃至创造的比重是很大的。李善兰自己也说：“当笔受时，辄以意匡补”，如此“屡作屡辍，凡四历寒暑，始卒业”，“伟烈亚力君言，异日西士欲求是书善本，当反访诸中国矣”①。该书于1856年译毕，1857 年出版发行。
英国数学家A。棣么甘（De Morgan，1806—1871）的《代数学》（1835）
内容包括代数方程、方程组、指数函数、对数函数及其幂级数展开式等。这是我国第一部符号代数的译本，西方通用的一些代数符号，例如＝，×，÷，拉伯数码字用一、二、三、四。。，26 个英文字母用中国传统的十天干（甲、乙、丙、丁。。）十二地支（子、丑、寅、卯。。）外加四元（天、地、人、物）来表示。
美国E。罗密士（Loomis，1811—1899）的《代微积拾级》（1850）是一部高等数学的教科书，内容包括解析几何和微积分初步，“由易而难若阶级之渐升”。译文用“微”的偏旁“彳”表示微分符号d，用“积”的偏旁“禾”表示积分符号∫，再配合其他相应的表示方法，象这样的积分式dxa xa x c＋= ＋ ＋ ò ln（ ） 便被译为禾甲⊥天彳天甲⊥天对⊥丙= （ ）虽然同当今通用的数学符号和表达方式相比还相差甚远，但这是高等数学第一次被介绍进中国，在中国近现代数学史上具有里程碑的意义。
翻译《几何原本》的同时，李善兰和伟烈亚力还翻译了西方力学著作《重学》，真所谓“朝译几何，暮译重学”②，十分紧张和辛苦。《重学》是我国近代科学史上第一部力学译著，也是当时最重要、影响最大的一部物理学著作，“制器考天之理皆寓于其中”①。
② 蒋学坚：《闻李壬叔丈讣音》，1882 年。
① 伟烈亚力：《几何原本》译序，1856 年。
② 李善兰：《几何原本》译序，1856 年。
① 李善兰：《重学》序，1866 年。
从1852 到1859 年，李善兰除了翻译出版上述数学和力学的著作外，还同伟烈亚力合作翻译出版了天文学著作《谈天》（英国赫歇耳的《天文学纲要》）和植物学著作《植物学》（英国林德利的《植物学基础》），这也是西方近代天文学和植物学首次全面系统地传入中国。
特别值得一提的是，在这些翻译过程中，大量的近代科学名词，在汉语中都没有先例供参考。本着对后人负责的精神，李善兰仔细思考，反复斟酌，十分贴切恰当地创译了一大批数学、天文学、物理学和植物学中的科学名词，例如：代数、常数、变数、已知数、未知数、函数、系数、指数、级数、单项式、多项式、轴、切线、法线、渐近线、微分、积分；历元、方位、视差、章动、自行、摄动、光行差、月行差、月角差、二均差、蒙气差、星等、变星、双星、三合星、本轮、均轮；分力、合力、质点、刚体；细胞、植物；等等。100 多年来，这些科学名词不仅在我国流传下来，扎下了根，还飘洋过海，东渡日本等国，沿用至今而勿替。如今，当我们天天和这些熟悉的科学名词打交道时，饮水思源，李善兰的开创之功是应该永志不忘的。
李善兰在十九世纪五十年代的翻译工作，加上七十年代初徐寿（1818—1884）翻译《化学鉴原》，华蘅芳（1833—1902）翻译《地学浅释》等，20年间，西方近代科学中，数、理、化，天、地、生，各大门类的先进知识都介绍进了中国，这为中国的近代科学发展奠定了坚实的理论基础，具有不可磨灭的历史意义。
第五节辅佐洋务新政，实施科学救国从十九世纪六十年代开始，清皇朝中一部分善于通权达变的封建政治家，以总理各国事务衙门的大臣奕䜣、文祥和拥有实权的大官僚曾国藩、左宗棠、李鸿章等人为代表，主张和实施引进西方资本主义国家的先进设备和科学技术，创办了一批近代军事工业和民用工业，建立起新式的海军和陆军。这些活动，史称“洋务运动”。此时，李善兰投身洋务派官僚集团，积极参与洋务新政中的学术活动，试图以此实现他的科学救国的理想。
1861 年秋，曾国藩在安庆筹建一个试用机器生产的兵工厂——安庆军械所，先邀著名化学家徐寿和数学家华蘅芳到内军械分局研制机动船只，后又将李善兰“聘入戎幄，兼主书局”②。李善兰一到安庆，就拿出因战乱初刊版已毁的《几何原本》等数学书籍对曾国藩说：“此算学家不可少之书，失今不刻行复绝矣！”①在曾国藩的支持下，于1865 年在金陵（南京）出版了15卷足本《几何原本》。曾国藩亲自为之作序，推荐此书。这对当时中国的数学界乃至整个学术界都是有很大影响的。
1866 年，曾国藩在上海筹建一个更大规模的兵工厂——江南机器局，他“邮致三百金”①到南京，资助李善兰出版算书，这样就有了1867 年金陵刊本的李善兰数学著作《则古昔斋算学》付梓问世。与此同时，在南京开办金陵机器局的李鸿章也资助李善兰重刻《重学》8 卷附《圆锥曲线说》3 卷。李善兰的《则古昔斋算学》收有他20 多年来的各种数学著作等13 种，除前述关于尖锥术的《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》外，还有关于等差级数求和问题的《垛积比类》②，关于行星运动轨道研究方面的《椭圆正术解》、《椭圆新术》和《椭圆拾遗》，提出别具一格的图解法、堪称我国第一部精密科学意义上的弹道学著作《火器真诀》，在我国级数研究史上带有开创性的《级数回求》，解决了若干有关中国古代数理天文学问题的《天算或问》，诠释和发扬中国传统数学和历法的《四元解》、《麟德术解》，以及融会中西数学方法的《对数尖锥变法释》。
张之洞也很钦佩李善兰的学识。他在1875 年编写《书目答问》，卷后附有“清朝著述诸家姓名略”，注称：“此编生存人不录。”但却破例在“算学家”条下列了李善兰，并特别加注说明：“李善兰乃生存者，以天算为绝学，故录一人。”③② 李善兰：《重学》序，1866 年。
① 崔敬昌：《李壬叔征君传》。
① 曾国藩：《几何原本》中译本序，1865 年。
② 李善兰：《则古昔斋算学》序，1867 年。
③ 其中，现被普遍誉称为“李善兰恒等式”的一个组合公式驰名中外，自本世纪三十年代以来不断引起数学界的广泛兴趣，我国数学家章用、华罗庚和匈牙利数学家图兰·帕尔（Turan Bel）等人都研究和证明过它。
第六节合中西之各术，绍古圣之心传1861 年，洋务派奕䜣等奏请开办京师同文馆，1862 年成立，直属总理各国事务衙门。开始只设有外语课程，培养办理洋务所需的翻译人才。1866 年又因制造机器必须讲求天文算学，议于同文馆内添设一馆，即天文算学馆。1867 年起招收30 岁以下的秀才、举人、进士、翰林，以及科举出身的五品以下官吏入学，厚给薪水，住馆学习数学，学制7 年。起初，在物�